新的征程馬上就要開始了, 為了我在芝罘的目標, 我需要從現在就開始行動.
以下借兩位神牛的話來勉勵自己:
往者不可諫，來者猶可追。
If you do it, you’ll have a chance, or you’ll never achieve your goal.
So. Do it NOW.
—— Sinya LEE.
Be confident, and you will win!
—— Chiapao KUO.
看到Terence 老师在他的博客上写过一篇文章, “Does one have to be a genius to do maths”, Zhiqiang 老师评论说“他写这种文章是站着说话不腰疼.”
的确, 对于Terence老师这种12岁就获得国际数奥金牌的人来说, 天赋毫无疑问是他走向成功的一个因素. 但是, Terence老师下面这段话却发人深省:
In some cases, an abundance of raw talent may end up (somewhat perversely) to actually be harmful for one’s long-term mathematical development; if solutions to problems come too easily, for instance, one may not put as much energy into working hard, asking dumb questions, or increasing one’s range, and thus may eventually cause one’s skills to stagnate. Also, if one is accustomed to easy success, one may not develop the patience necessary to deal with truly difficult problems. Talent is important, of course; but how one develops and nurtures it is even more so.
对应的译文: (来自LiuXiaochuan老师)
有的时候，大量的灵感和才智反而对长期的数学发展有害，试想如果在早期问题解决的太容易，一个人可能就不会刻苦努力，不会问一些“傻”的问题，不会尝试去扩展自己的领域，这样迟早造成灵感的枯竭。而且，如果一个人习惯了不大费时费力的小聪明，他就不能拥有解决真正困难的大问题所需要耐心，和坚韧的性格。聪明才智自然重要，但是如何发展和培养显然更加的重要。
反过来想自己, 即使在创新能力要求极强的信息学中, 原来最重要的不是自己的那些灵光一闪的新点子, 而是严谨踏实的学术作风.
以下是我的NOIp 2009 (提高组) 解题报告.
第一题(潜伏者, spy): 略.
第二题(Hankson 的趣味题, son):
Gcd(x,a0)=a1, Gcd(x,b0)=xb0/b1
设f(a,b) 代表b这个质因子在a中有多少个.
对于a0的任意质因子t, 若f(a0,t)=f(a1,t) 则只需保证f(x,t)≥f(a1,t), 否则f(x,t)=f(a1,t)
对于b1的任意质因子t, 若f(b1,t)=f(b0,t) 则只需保证0≤f(x,t)≤f(b1,t), 否则f(x,t)=f(b1,t)
由于x的所有因子都是b1的子集, 所以我们只需对b1的质因子按如上方法逐个检查这个质因子在x里面的取值范围(若为空则说明无解), 并按照乘法原理统计即可.
关于分解质因子: 由于b1不会超过2*10^9, 大于50000的质因子不会超过1个, 所以我们只要打出50000以内的素数表即可, 若最后除剩的b1仍未除尽, 说明此时b1一定是一个大于50000的素数.
第三题(最优贸易, trade):
做法1:
设Low[i]为从1到i当前所有路径中最便宜的价格. Profit[i]为从1到i当前所有路径中最大获利. 初始时Low[1]=P[1], Low[2..n]=infinity, Profit[1..n]=0.
那么我们可以从1开始广搜, 要注意一个点有可能多次被更新.
从i可以更新到j的条件是:
1. 存在有向/无向边(i,j)
2. Low[j]>Low[i] 或 Profit[j]<Profit[i]
做法2:
首先考虑没有环的情况, 此时1,n之间要么无法连通, 要么只存在一些单向的无环路径. 对于每一条路径, 由于不能”回头”, 走到某个点i的极优获利显然是i的费用-路径上此点之前的点的最小费用, 而此路径的最大获利便是取获利最大的点.
但是还有很多数据是有环的, 也就是对于有些点对(a,b), 在a走到b之后, b仍然可以走回到a. 在图论中, 我们把点集V, 其中任意两个点可以互达, 叫做强连通分量.
由于强连通分量中的点可以互相到达, 所以在一个强连通中的最大获利就是强连通中最贵的-最便宜的. 我们把所有强连通分量求出来缩为两个点之后. 1与n之间只存在一些无环路径, 对于这些单向的无环路径我们只需要扫描一遍便可求出最大获利.
强连通缩为两个点的具体做法: 把一个强连通缩为a,b 两个点, 连(a,b)边, a的费用为强连通中最便宜的, b的费用为强连通中最贵的. 把指向强连通中任何一个点的所有边改为指向a, 把强连通中任何一点指向强连通外部的边改为由b指出. 这样构出来的保证与原图等价.
第四题(靶形数独, sudoku): 很直白的搜索, 由于数独是NP-H问题, 所以我们肯定只能用搜索, 那么关键就在于剪枝了, 我们发现, 对于每个格子都有一个取值范围, 这个范围由其横行/纵行/小九宫格中已填的数决定, 那么无疑我们每次搜索选取值范围最小的格子搜是比较优的.
不曾想会变成这样…
桌子出的题我都能这么失误, 不过还好不是烟台, 那才是我的目标.
Every cloud has a silver lining.
Be confident, and then I will win.
Struggle for what you want!
Be confident, and I will win!
大家都知道正常的Nim游戏是取完最后一个赢. 必胜态是各堆石子异或值不为0. 现在来看看几个有意思的变种.
变种1: 取到最后一个石子的人输.
首先明确奇数个1是必败态, 偶数个1是必胜态. 这与正常的Nim不一致.
若只有一堆的个数大于1, 那么现在可以控制全场的1个数的奇偶性, 所以是必胜的. 这与正常的Nim一致.
若不止一堆的个数大于1, 由于不能转移到全是1的状态, (可能可以转移到仅有一堆大于1的状态, 但此状态与正常Nim一致), 所有当前可以转移到的状态的胜负性都是与正常的Nim一致的, 所以当前状态的胜负性与正常的Nim也是一致的.
综上, 除了全是1的状态胜负性跟正常的Nim不一致, 其余的状态胜负性与正常的Nim一致.
变种2: 只能从最左或最右的一堆中取, 取到最后一个的赢.
对于 [L,X,R] 状态, 若其是必败状态, 那么|L-R|<=1.
证明: 设[L,X,R]是必败态且R<L-1, 那么, 对于任何的1<=L’<L, [L',X,R]是必胜态. 那么对于每个L’, 都存在R’<R使得[L',X,R']是必败态, 显然不会出现[a,X,b]和[a',X,b]同为必败态的情况, 但L’有L-1个取值, R’却没有L-1个取值, 所以对于任意必败态[L,X,R], 都有|L-R|1则是必胜态, 否则, 由[X]的胜负性以及L-R的值可以推导出[L,X,R]的胜负性.
我们又要开始讨论有关素数的问题了. 各位大牛在考试中肯定有很多时间剩余, 在考场里闲着无聊怎么办呢? 在草稿纸上写写画画? 于是你就开始写素数数列:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, …
写了几项后决心利用考试剩余的时间解决几个世纪以来的各种素数生成问题. 素数数列有什么规律呢? 从等差数列开始算吧. 看一看素数数列的各项与其后一项之间的差:
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, …
你相信素数数列不会是这么简单, 觉得它有可能是n-阶等差数列, 于是你无聊地再把差数列又减了一次:
1, 0, 2, -2, 2, 2, 2, 2, 4, …
啊? 竟然出现了最讨厌的负数?! 恼怒的你决定把所有的负数全都取绝对值, 再把数列减一次:
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …
就当你准备再减一次的时候, 你发现了一件怪事: 为什么每个数列的第一项都是1? 惊奇不已的你准备放弃解决几个世纪以来的素数难题, 转而研究这个问题. 在考试结束之时, 你已经列了几百个数列了, 它们都是以1打头的, 于是你猜想每一个这样的数列都是以1打头的.
假如Alice和Bob需要经过一个不可靠媒介传送一条消息, 他们大概会把这条消息加密, 而普遍使用的字母移位法(凯撒加密法)太容易被破解, 所以他们可能会考虑使用更加安全的加密法.
在上个世纪70年代被麻省理工学院的三位教授发明的RSA加密算法就是一个足够安全的加密法, 当今互联网的SSL安全连接协议的重要加密算法就包括了RSA加密算法. 连接到你的网上银行, 查看这个安全连接的证书, 证书上很可能写的就是“RSA加密”.
当然, RSA被广泛使用的原因还有一个, 那就是它的加密钥匙是公开的, 也就是说, 任何人都可以使用公开的密钥给消息加密, 却无法给刚加密的消息解密.