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海倫公式的非幾何證明

May 11th, 2010 Leave a comment Go to comments

大家都知道海倫公式K=\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}, 其中s=\frac{a + b + c}{2}是半周長. 這一公式由於計算複雜所以在中學數學中並沒有被重視, 甚至由於容易造成精度誤差也沒有在信息學中應用. 現在我們要用盡量少的幾何知識來證明這個公式.

假設

我們假設K^2是一個關於a, b, c的4次齊次多項式, 我們已經知道(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c)能夠整除K^2, 那麼除後剩下來的是關於a, b, c的線性式子. 因此我們假設K^2 = K_0(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c), 這裡K_0是一個常數. 我們把周長是1, 1, \sqrt{2}面積是\frac{1}{2}的三角形帶入計算, 得到:

\frac{1}{4}=2K_0(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=4K_0

因此得到K_0=\frac{1}{16}, 滿足條件.

驗證假設

K^2是顯然次數均勻且對稱的, 但它是不是一個多項式呢?

我們設h_{a}是a邊上的高, 類似地對b, c也定義其高, 那麼K=\frac{h_{a}a}{2}, 那麼問題變成了a^2h_{a}^2是不是一個多項式, 根據Stewart’s theorem, 這是成立的, 但是我們來看有沒有其他的證法.

根據更加現代的理論, 一個三角形的面積是其兩邊的向量\mathbf{v}, \mathbf{w}的叉積的一半, 而叉積是這兩個向量的Gramian矩陣的行列式. 其中Gramian矩陣是:

\mathbf{G}(\mathbf{v}, \mathbf{w})= \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} & \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} \\ \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} & \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \end{array} \right]

三角形0, \mathbf{v}, \mathbf{w}的三邊邊長平方分別是\mathbf{v}^2, \mathbf{w}^2以及(\mathbf{v}-\mathbf{w})^2所以這個Gramian矩陣的行列式的確對於三邊邊長是多項式的.

本文譯自Annoying Precision, 並且處於自定版\LaTeX測試中.

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Categories: General Math Tags:
  1. Mr.Wordpress
    May 11th, 2010 at 22:53 | #1
    Reply | Quote

    測試評論區\LaTeX功能.

  2. Mr.Wordpress
    May 12th, 2010 at 05:23 | #2
    Reply | Quote

    测试公式: c^2=a^2+b^2.
    E=mc^2

  3. Xiaoxia
    September 27th, 2010 at 06:49 | #3
    Reply | Quote

    初中时候自己推导过这个公式，后来老师才告诉我叫海伦公式。只需要用到初中的知识。边上作高，设未知数，利用勾股定理列方程组。解方程组。计算过程比较繁琐，不列举。

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