Martin Gardner 先生於昨日(22日)去世了, 終年95歲.

這是一個很有趣的數, 他應該會很喜歡的.

Martin 先生最著名的成就便是在科學美國人上開設二十餘年的數學遊戲專欄, 下面這張很有名的數學謬論就是他提出來的:

你要是還想進一步了解他所作的謎題, 請移步科學美國人的紀念文章.

大家都知道海倫公式, 其中是半周長. 這一公式由於計算複雜所以在中學數學中並沒有被重視, 甚至由於容易造成精度誤差也沒有在信息學中應用. 現在我們要用盡量少的幾何知識來證明這個公式.

假設

我們假設是一個關於的4次齊次多項式, 我們已經知道能夠整除, 那麼除後剩下來的是關於的線性式子. 因此我們假設, 這裡是一個常數. 我們把周長是面積是的三角形帶入計算, 得到:

因此得到, 滿足條件.

驗證假設

是顯然次數均勻且對稱的, 但它是不是一個多項式呢?

我們設是邊上的高, 類似地對也定義其高, 那麼, 那麼問題變成了是不是一個多項式, 根據Stewart’s theorem, 這是成立的, 但是我們來看有沒有其他的證法.

根據更加現代的理論, 一個三角形的面積是其兩邊的向量的叉積的一半, 而叉積是這兩個向量的Gramian矩陣的行列式. 其中Gramian矩陣是:

三角形的三邊邊長平方分別是, 以及所以這個Gramian矩陣的行列式的確對於三邊邊長是多項式的.

本文譯自Annoying Precision, 並且處於自定版測試中.

我们经常跟素数打交道, 我们知道素数的各种验证算法, 但是是否存在素数的生成算法呢?

事实上, 我们有许多可以生成素数的算法, 但是, 由于这些算法的效率极低, 我们基本上不会使用这些算法.

方法一: 素数编码

设 p_n 是第n个素数, Sierpinski 先生曾经定义了这样一个常量:

若定义[x]为一取下整函数, 即[x]表示不大于x的最大整数. 那么我们有:

对于这一类方法, 当把相关常量计算出来时才有实际价值, 这似乎不太可能.

方法二: 利用 Wilson 原理

Willans 先生这样定义了函数 pi(x) :

那么, 对于大于2的任意整数n, 我们有:

这个方法虽然比前一个更具体, 但是, 其中涉及到了很大的数, 要应用到实际运算中还有一定的困难.

关于素数还有很多精彩的算法, 比如验证素数的 Miller-Rabin 测试, 以及应用素数性质的 RSA 加密算法, 但有关生成素数的真正可行的算法, 还有待我们继续去探究.
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去年就开始用 Mathematica 了, 在今年 Wolfram|Alpha 推出后, 我使用 Mathematica 的次数就越来越多了, 但有时候有的函数用起来还是不够得心应手, 所以前几天特意看了一下 Overview, 把初用者需要的重点记了下来, 难免会有不准确之处, 请各位大牛批评指正.

另外, 最近一直都很忙, 有几个话题一直没写完, 所以有段时间没有更新, 望各位见谅.

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有的时候我们需求一种简介的表示数的方法，对于普通的有理数来说，普通的分数足够了。但是对于无理数，普通的分数可就无能为力了。我们有没有简介的方法来表示无理数呢？

连分数( continued fractions )就是这样的一种表示数的方法，连分数是形如下图的式子。

我们一般将连分数简写成

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高斯消元法是一个解线性代数方程组的重要消元法，其重要作用是可以应用于计算机的解线性方程。应为通过它可以构造一个三角矩阵（又称行梯阵式），然后通过迭代的方法求解。

根据高斯消元法的理论，我们只需要n个系数非零的n元方程，即可求解这一方程组。

所以讨论一个n元的行梯阵式，我们只需要看前n行，即可求解。

高斯消元法把一个阵式构造成行梯阵式（三角矩阵）的过程是（只讨论n元矩阵的前n行）：设要求解的未知数分别为x1,x2,x3……xn，有R1……Rn个线性方程，线性方程Ri中xj的系数为aij，则用-(ai1/a11)R1加上Ri来消除Ri的x1项，其中i>1。接下来，同样地，用-(aij/ajj)Rj加上Ri来消除Ri的xj项，其中i>j，且Rj……Rn的x1……x(j-1)项应已被R1……R(j-1)消除。

太抽象了？我给出3*3矩阵的求行梯阵式的过程。

算出行梯阵式后，可以将Rn（即xn）代入R(n-1)求出x(n-1)，然后将xn,x(n-1)代入R(n-2)求x(n-2)，……，一直迭代到求出x1.

懂了吗？呵呵，我的数学研究方向已经从计算机偏向自然科学了。