這是一個很有趣的數, 他應該會很喜歡的.

Martin 先生最著名的成就便是在科學美國人上開設二十餘年的數學遊戲專欄, 下面這張很有名的數學謬論就是他提出來的:

你要是還想進一步了解他所作的謎題, 請移步科學美國人的紀念文章.

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假設

我們假設是一個關於的4次齊次多項式, 我們已經知道能夠整除, 那麼除後剩下來的是關於的線性式子. 因此我們假設, 這裡是一個常數. 我們把周長是面積是的三角形帶入計算, 得到:

因此得到, 滿足條件.

驗證假設

是顯然次數均勻且對稱的, 但它是不是一個多項式呢?

我們設是邊上的高, 類似地對也定義其高, 那麼, 那麼問題變成了是不是一個多項式, 根據Stewart’s theorem, 這是成立的, 但是我們來看有沒有其他的證法.

根據更加現代的理論, 一個三角形的面積是其兩邊的向量的叉積的一半, 而叉積是這兩個向量的Gramian矩陣的行列式. 其中Gramian矩陣是:

三角形的三邊邊長平方分別是, 以及所以這個Gramian矩陣的行列式的確對於三邊邊長是多項式的.

本文譯自Annoying Precision, 並且處於自定版測試中.

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事实上, 我们有许多可以生成素数的算法, 但是, 由于这些算法的效率极低, 我们基本上不会使用这些算法.

方法一: 素数编码

设 p_n 是第n个素数, Sierpinski 先生曾经定义了这样一个常量:

若定义[x]为一取下整函数, 即[x]表示不大于x的最大整数. 那么我们有:

对于这一类方法, 当把相关常量计算出来时才有实际价值, 这似乎不太可能.

方法二: 利用 Wilson 原理

Willans 先生这样定义了函数 pi(x) :

那么, 对于大于2的任意整数n, 我们有:

这个方法虽然比前一个更具体, 但是, 其中涉及到了很大的数, 要应用到实际运算中还有一定的困难.

关于素数还有很多精彩的算法, 比如验证素数的 Miller-Rabin 测试, 以及应用素数性质的 RSA 加密算法, 但有关生成素数的真正可行的算法, 还有待我们继续去探究.

参考文献: Prime FAQ, Chris K. Caldwell

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另外, 最近一直都很忙, 有几个话题一直没写完, 所以有段时间没有更新, 望各位见谅.

正文:

Mathematica 使用手记

普通计算:
在输入了表达式之后, 按 Shift+Enter 即可出解.
基本的表达式与平常手写的没有什么很大的区别.

集合:
普通的列举型的集合的书写没有特别的地方.
在一般的计算中, 有的可能需要自变量的范围等集合, 在 Mathematica 里面, 关于取值范围的集合的书写是有别于平常手写的:
在平常的手写中, 我们一般这样写 {x|0<=x<=100} 翻译成 Mathematica 表达式即是 {x,0,100} , 注意这里取的是实数.
有时我们需要取到整数, 此时我们这样写 {x,0,100,1} 最后一个表示取的跨度, 要注意的是, 不管怎样, 上下界的两个数总在集合里面的.

函数类:

N[]求实数值函数:
使用 N[表达式/集合] 可以轻松的求实数值, 如 N[Pi^2]  和 N[{Pi^3,E,-I}]

Plot 画图函数:
使用 Plot 函数可以轻松的画出函数的图像, 比如 Plot[Sin[x], {x, -2 Pi, 2Pi}, Frame -> True, PlotStyle -> Blue]
后两个参数为可选, 推荐加上 Frame 参数, 否则数轴的摆放很不规矩… 另外, Sin[x] 可以写为 y = Sin[x]
要注意的是, Plot 函数要求定义域(第二个参数)一定要是连续的集合.

ListPlot 散点图函数:
用法和 Plot 函数不一样, ListPlot 函数只支持输入一个集合(或产生集合的函数), 比如 ListPlot[{1,10}]

ContourPlot 画方程函数:
ContourPlot 函数可以在指定的x, y 定义域内画出所有满足表达式条件的(x,y), 比如:
ContourPlot[x^2 + y^2 == 1, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

Table 列表函数:
使用 Table 函数可以做很多事情. Table 函数输出的是一个集合, 和 Plot 函数差不多, Table 函数也是需要表达式和定义域, 比如 Table[x^2, {x,1,10}]  要注意的是, 不管上下界是什么数, 其中自变量永远只会取到其中的整数.
又如: Table[Prime[n], {n, 1, 30}] 和 ListPlot[Table[Prime[n], {n, 1, 30}]]

几个集合操作函数:
集合排序:
Sort[{3, 1, 2, 5, 4}]
集合倒序:
Reverse[{1, 2, 3, 4, 5}]
输出排列:
Permutations[{1, 2, 3}]

Manipulate 操纵函数:
Manipulate 函数提供了一个或几个操纵杆, 可以调节操纵杆来改变变量的值, 并计算在此变量值下目标表达式的值/图像/…
具体格式如下:
Manipulate[x^3, {x,1,10}]
Manipulate[Plot[Sin[n x], {x, 0, 2 Pi}], {n, 1, 10}]
注意: Manipulate 的定义域支持连续的域和非连续的域, 并且 Manipulate 函数可以提供多个操纵杆, 来操控多个变量的值, 比如:
Manipulate[x^y + z, {x, 0, 10}, {y, 1, 5}, {z, 15, 20}]

赋值语句:
使用=可以给变量赋值, 比如 a=1   (变量名必须以小写字母开头)

Solve 解方程函数:
Solve 函数可以对方程求解, 格式如下:
Solve[ x^2 + 2 x + 1 == 0, x]
注意, 由于=是赋值符号, 所以等于号为==

Sqrt 开方函数:
如 Sqrt[2]

定义函数:
就这样定义函数: f[x_] := x^2
之后你可以像这样调用: f[5]  f[E]

Expand 展开函数:
使用 Expand 函数我们可以轻松展开多项式, 比如 Expand[(1+x)^5]  还有 Manipulate[Expand[(1 + x)^n], {n, 0, 100, 1}]

几个高级例子:

1.
Manipulate[
ContourPlot[Sin[n x] Cos[x + m y], {x, 0, 3}, {y, 0, 3},
ColorFunction -> “Pastel”], {n, 1, 5}, {m, 1, 5}]

2.
Manipulate[
Plot3D[Sin[n x] + Sin[m x y], {x, 0, 3}, {y, 0, 3}], {n, 1, 8}, {m,
1, 4}]

3.
solution2 =
NDSolve[{x''[t] + x[t]^3 == Sin[t], x[0] == x’[0] == 0},
x, {t, 0, 50}]
执行后执行
ParametricPlot[{x[t], x’[t]} /. solution2, {t, 0, 50}]

4.
ListPlot3D[MorphologicalComponents[图片]]

5.
BarChart[{1, 2, 3, 4, 5}]

6.
PieChart[{1, 2, 3, 4, 5}]

7.
PieChart3D[{1, 2, 3, 4, 5}]

8.
ContourPlot[x^2 + y^2 == 1, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

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连分数( continued fractions )就是这样的一种表示数的方法，连分数是形如下图的式子。

我们一般将连分数简写成

(值得注意的是，连分数同样也分为有限连分数和无限连分数)

通过连分数，我们可以得到许多有趣的事实。

• • 一个无理数的连分数表示是唯一的。
  • 一个数的连分数表示是有限的，当且仅当这个数是有理数。
  • 一般来说，有理数的连分数表示也是唯一的。

看了这么多，我们也动手把一个普通分数转成连分数吧。

各位一定看出来了，这不就是不断地把分子分母同时除以分子，好把分子化为 1 嘛。但是这样的计算还是没有一个定型的算法，而事实上，早在公元前三世纪，欧几里德就发现了一个较优算法——辗转相除法。

没错，就是那个求最大公约数的辗转相除法。我们先来回顾一下辗转相除法，这次我们不用短除式，而尝试用等式来描述这个算法。

既然上边的式子成立，那么下面的式子也会成立。

也就是说，

好了，我们已经得到了快速化连分数的方法。

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• 高斯消元法（Gauss Elimination）

根据高斯消元法的理论，我们只需要n个系数非零的n元方程，即可求解这一方程组。

所以讨论一个n元的行梯阵式，我们只需要看前n行，即可求解。

高斯消元法把一个阵式构造成行梯阵式（三角矩阵）的过程是（只讨论n元矩阵的前n行）：设要求解的未知数分别为x1,x2,x3……xn，有R1……Rn个线性方程，线性方程Ri中xj的系数为aij，则用-(ai1/a11)R1加上Ri来消除Ri的x1项，其中i>1。接下来，同样地，用-(aij/ajj)Rj加上Ri来消除Ri的xj项，其中i>j，且Rj……Rn的x1……x(j-1)项应已被R1……R(j-1)消除。

太抽象了？我给出3*3矩阵的求行梯阵式的过程。

算出行梯阵式后，可以将Rn（即xn）代入R(n-1)求出x(n-1)，然后将xn,x(n-1)代入R(n-2)求x(n-2)，……，一直迭代到求出x1.

懂了吗？呵呵，我的数学研究方向已经从计算机偏向自然科学了。

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