连分数( continued fractions )就是这样的一种表示数的方法，连分数是形如下图的式子。

我们一般将连分数简写成

(值得注意的是，连分数同样也分为有限连分数和无限连分数)

通过连分数，我们可以得到许多有趣的事实。

• • 一个无理数的连分数表示是唯一的。
  • 一个数的连分数表示是有限的，当且仅当这个数是有理数。
  • 一般来说，有理数的连分数表示也是唯一的。

看了这么多，我们也动手把一个普通分数转成连分数吧。

各位一定看出来了，这不就是不断地把分子分母同时除以分子，好把分子化为 1 嘛。但是这样的计算还是没有一个定型的算法，而事实上，早在公元前三世纪，欧几里德就发现了一个较优算法——辗转相除法。

没错，就是那个求最大公约数的辗转相除法。我们先来回顾一下辗转相除法，这次我们不用短除式，而尝试用等式来描述这个算法。

既然上边的式子成立，那么下面的式子也会成立。

也就是说，

好了，我们已经得到了快速化连分数的方法。

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根据高斯消元法的理论，我们只需要n个系数非零的n元方程，即可求解这一方程组。

所以讨论一个n元的行梯阵式，我们只需要看前n行，即可求解。

高斯消元法把一个阵式构造成行梯阵式（三角矩阵）的过程是（只讨论n元矩阵的前n行）：设要求解的未知数分别为x1,x2,x3……xn，有R1……Rn个线性方程，线性方程Ri中xj的系数为aij，则用-(ai1/a11)R1加上Ri来消除Ri的x1项，其中i>1。接下来，同样地，用-(aij/ajj)Rj加上Ri来消除Ri的xj项，其中i>j，且Rj……Rn的x1……x(j-1)项应已被R1……R(j-1)消除。

太抽象了？我给出3*3矩阵的求行梯阵式的过程。

算出行梯阵式后，可以将Rn（即xn）代入R(n-1)求出x(n-1)，然后将xn,x(n-1)代入R(n-2)求x(n-2)，……，一直迭代到求出x1.

懂了吗？呵呵，我的数学研究方向已经从计算机偏向自然科学了。

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