cnPhil http://www.cnphil.com In Pursuit of Excellence Fri, 09 Jul 2010 06:17:15 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0 HNOI 2010 解题报告 http://www.cnphil.com/archives/270 http://www.cnphil.com/archives/270#comments Mon, 05 Jul 2010 08:29:33 +0000 Phil http://www.cnphil.com/?p=270 由于题目的版权问题, 这里并不会出现题目描述, 请通过其他渠道获取题目描述.

合唱队 Chorus

很容易的区间DP, 设 F_{i, j}, G_{i, j} 分别表示当前状态为区间 [i, j], 最后一个放的元素在区间的左侧和右侧的方案数. 时间复杂度 O(n^2) .

平面图判定 Planar

判定存在 Hamilton 回路的平面图, 实际上就是判定能否把区间(边)分成两个集合, 使得每个集合内的元素互不相交(但可以严格包含).

这道题其实是有 O(nlogn) 的解法的, 但是这道题的点数过少, 也有很方便的解法. 根据欧拉定理, 平面图的边数 |e| 和点数 |v| 满足 |e| \leq 3|v| - 6. 那我们可以把边数的规模降低, 然后可以用 O(n^2) 的染色解决此题.

物品调度 Fsk

假设我们已经知道了终止状态, 如何求得最小步数呢. 我们可以用 O(n) 的时间求出这个置换的每个循环. 对于每个长度大于1的循环, 若其中含有0元素, 那么最少需 length - 1 步, 否则需要 length + 1 步.

现在的问题是如何求出终止状态, 观察题意发现, 每个元素的终止状态是放在 C_i~mod~gcd(n, d) 之后第一个非空的模 gcd(n, d) 剩余系中, 并且放在这个模 gcd(n, d) 剩余系中当前位置的下一个可行位置, 因此我们可以用链表/平衡树维护每个模 gcd(n, d) 剩余系的情况以及每个模 gcd(n, d) 剩余系内部的情况. 可以做到 O(n) 的复杂度.

公交线路 Bus

我们可以用每辆车到一个点的距离集合来表示一个状态, 由于不能有空位以及车之间没有区别, 实际状态集合的最多只有 C(9, 5) = 126 个之少.

我们可以用矩阵乘法来优化转移, 复杂度最多为 O(126^3 * logn).

取石子游戏 Stone

解法未知.

城市建设 City

解法未知.

弹飞绵羊 Bounce

首先这道题只能往后跳, 所以我们用块状链表维护每个点在块内和块外的情况即可用O(n\sqrt{n}) 的时间解决此题.

正解之一是利用括号序列, 每次操作都是把一棵子树砍下并且接在某个结点上, 那么我们可以维护括号序列整段移动来完成这个操作. 同时为了回答询问我们需要知道每个左括号的左边有几个未匹配的左括号, Splay 可以维护这个值, 时间复杂度 O(nlogn).

矩阵 Matrix

设给定的矩阵是 B, 原矩阵是 A, 另设 C 矩阵, 其中:

C 的第一行和第一列均是0, 且 C_{i, j}=B_{i, j} - C_{i - 1, j} - C_{i, j - 1} - C_{i - 1, j - 1}.

同时满足 A_{i, j} = C_{i, j} + (-1) ^ {i - 1} A_{1, j} + (-1) ^ {j - 1} A_{i, 1} + (-1) ^ {i + j - 1} A_{1, 1}. 证明在此(外链打开请谨慎).

那么我们搜索 A 的第一行, 在枚举 A_{1, j} 时检查第 j 列并更新第一列的可行集合来剪枝. 这样就可以通过这道题了.

Share and Enjoy: Google Bookmarks del.icio.us Facebook FriendFeed Twitter 豆瓣

Related Posts

]]> http://www.cnphil.com/archives/270/feed 6 关于日志清理 http://www.cnphil.com/archives/236 http://www.cnphil.com/archives/236#comments Sat, 12 Jun 2010 10:29:12 +0000 Phil http://www.cnphil.com/?p=236 从2005年在某 BSP 上写第一篇日志开始, 再到两年多前 cnPhil 建立, 在这上面发布过的日志什么类型的都有. 不过你会发现, cnPhil 越来越学术化. 同样, 在接下来的几个月当中, 会有很多学术性的专题日志出现在这里. 关于 cnPhil 未来的走向也是越来越明晰. 所以我发现, 现在有必要进行一次日志清理. 所有跟我个人有关的内容将会被清理到 phil.tw, 同样你可以关注我的 twitter. 今后这里只会发布学术性的日志.

Share and Enjoy: Google Bookmarks del.icio.us Facebook FriendFeed Twitter 豆瓣

Related Posts

  • No Related Posts
]]> http://www.cnphil.com/archives/236/feed 0 RIP, Martin Gardner http://www.cnphil.com/archives/222 http://www.cnphil.com/archives/222#comments Mon, 24 May 2010 00:59:43 +0000 Phil http://www.cnphil.com/?p=222 Martin Gardner 先生於昨日(22日)去世了, 終年95歲.

95 = 0~(mod~1) =1~(mod~2) =2~(mod~3) =3~(mod~4)

這是一個很有趣的數, 他應該會很喜歡的.

Martin 先生最著名的成就便是在科學美國人上開設二十餘年的數學遊戲專欄, 下面這張很有名的數學謬論就是他提出來的:

你要是還想進一步了解他所作的謎題, 請移步科學美國人的紀念文章.

本文部分內容來自Three Sixty.

Share and Enjoy: Google Bookmarks del.icio.us Facebook FriendFeed Twitter 豆瓣

Related Posts

  • No Related Posts
]]> http://www.cnphil.com/archives/222/feed 2 海倫公式的非幾何證明 http://www.cnphil.com/archives/211 http://www.cnphil.com/archives/211#comments Wed, 12 May 2010 02:17:10 +0000 Phil http://www.cnphil.com/?p=211 大家都知道海倫公式K=\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}, 其中s=\frac{a + b + c}{2}是半周長. 這一公式由於計算複雜所以在中學數學中並沒有被重視, 甚至由於容易造成精度誤差也沒有在信息學中應用. 現在我們要用盡量少的幾何知識來證明這個公式.

假設

我們假設K^2是一個關於a, b, c的4次齊次多項式, 我們已經知道(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c)能夠整除K^2, 那麼除後剩下來的是關於a, b, c的線性式子. 因此我們假設K^2 = K_0(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c), 這裡K_0是一個常數. 我們把周長是1, 1, \sqrt{2}面積是\frac{1}{2}的三角形帶入計算, 得到:

\frac{1}{4}=2K_0(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=4K_0

因此得到K_0=\frac{1}{16}, 滿足條件.

驗證假設

K^2是顯然次數均勻且對稱的, 但它是不是一個多項式呢?

我們設h_{a}是a邊上的高, 類似地對b, c也定義其高, 那麼K=\frac{h_{a}a}{2}, 那麼問題變成了a^2h_{a}^2是不是一個多項式, 根據Stewart’s theorem, 這是成立的, 但是我們來看有沒有其他的證法.

根據更加現代的理論, 一個三角形的面積是其兩邊的向量\mathbf{v}, \mathbf{w}的叉積的一半, 而叉積是這兩個向量的Gramian矩陣的行列式. 其中Gramian矩陣是:

\mathbf{G}(\mathbf{v}, \mathbf{w})= \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} & \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} \\ \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} & \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \end{array} \right]

三角形0, \mathbf{v}, \mathbf{w}的三邊邊長平方分別是\mathbf{v}^2, \mathbf{w}^2以及(\mathbf{v}-\mathbf{w})^2所以這個Gramian矩陣的行列式的確對於三邊邊長是多項式的.

本文譯自Annoying Precision, 並且處於自定版\LaTeX測試中.

Share and Enjoy: Google Bookmarks del.icio.us Facebook FriendFeed Twitter 豆瓣

Related Posts

  • No Related Posts
]]> http://www.cnphil.com/archives/211/feed 2 做数学与做学问 http://www.cnphil.com/archives/186 http://www.cnphil.com/archives/186#comments Sun, 10 Jan 2010 06:43:40 +0000 Phil http://www.cnphil.com/?p=186 看到Terence 老师在他的博客上写过一篇文章, “Does one have to be a genius to do maths”, Zhiqiang 老师评论说“他写这种文章是站着说话不腰疼.”

的确, 对于Terence老师这种12岁就获得国际数奥金牌的人来说, 天赋毫无疑问是他走向成功的一个因素. 但是, Terence老师下面这段话却发人深省:

In some cases, an abundance of raw talent may end up (somewhat perversely) to actually be harmful for one’s long-term mathematical development; if solutions to problems come too easily, for instance, one may not put as much energy into working hard, asking dumb questions, or increasing one’s range, and thus may eventually cause one’s skills to stagnate. Also, if one is accustomed to easy success, one may not develop the patience necessary to deal with truly difficult problems. Talent is important, of course; but how one develops and nurtures it is even more so.

对应的译文: (来自LiuXiaochuan老师)

有的时候，大量的灵感和才智反而对长期的数学发展有害，试想如果在早期问题解决的太容易，一个人可能就不会刻苦努力，不会问一些“傻”的问题，不会尝试去扩展自己的领域，这样迟早造成灵感的枯竭。而且，如果一个人习惯了不大费时费力的小聪明，他就不能拥有解决真正困难的大问题所需要耐心，和坚韧的性格。聪明才智自然重要，但是如何发展和培养显然更加的重要。

反过来想自己, 即使在创新能力要求极强的信息学中, 原来最重要的不是自己的那些灵光一闪的新点子, 而是严谨踏实的学术作风.

Share and Enjoy: Google Bookmarks del.icio.us Facebook FriendFeed Twitter 豆瓣

Related Posts

  • No Related Posts
]]> http://www.cnphil.com/archives/186/feed 0 NOIp 2009 解题报告 http://www.cnphil.com/archives/177 http://www.cnphil.com/archives/177#comments Thu, 26 Nov 2009 13:34:09 +0000 Phil http://www.cnphil.com/?p=177 以下是我的NOIp 2009 (提高组) 解题报告.

第一题(潜伏者, spy): 略.

第二题(Hankson 的趣味题, son):

Gcd(x,a0)=a1, Gcd(x,b0)=xb0/b1

设f(a,b) 代表b这个质因子在a中有多少个.

对于a0的任意质因子t, 若f(a0,t)=f(a1,t) 则只需保证f(x,t)≥f(a1,t), 否则f(x,t)=f(a1,t)

对于b1的任意质因子t, 若f(b1,t)=f(b0,t) 则只需保证0≤f(x,t)≤f(b1,t), 否则f(x,t)=f(b1,t)

由于x的所有因子都是b1的子集, 所以我们只需对b1的质因子按如上方法逐个检查这个质因子在x里面的取值范围(若为空则说明无解), 并按照乘法原理统计即可.

关于分解质因子: 由于b1不会超过2*10^9, 大于50000的质因子不会超过1个, 所以我们只要打出50000以内的素数表即可, 若最后除剩的b1仍未除尽, 说明此时b1一定是一个大于50000的素数.

第三题(最优贸易, trade):

做法1:

设Low[i]为从1到i当前所有路径中最便宜的价格. Profit[i]为从1到i当前所有路径中最大获利. 初始时Low[1]=P[1], Low[2..n]=infinity, Profit[1..n]=0.

那么我们可以从1开始广搜, 要注意一个点有可能多次被更新.

从i可以更新到j的条件是:

1. 存在有向/无向边(i,j)

2. Low[j]>Low[i] 或 Profit[j]<Profit[i]

做法2:

首先考虑没有环的情况, 此时1,n之间要么无法连通, 要么只存在一些单向的无环路径. 对于每一条路径, 由于不能”回头”, 走到某个点i的极优获利显然是i的费用-路径上此点之前的点的最小费用, 而此路径的最大获利便是取获利最大的点.

但是还有很多数据是有环的, 也就是对于有些点对(a,b), 在a走到b之后, b仍然可以走回到a. 在图论中, 我们把点集V, 其中任意两个点可以互达, 叫做强连通分量.

由于强连通分量中的点可以互相到达, 所以在一个强连通中的最大获利就是强连通中最贵的-最便宜的. 我们把所有强连通分量求出来缩为两个点之后. 1与n之间只存在一些无环路径, 对于这些单向的无环路径我们只需要扫描一遍便可求出最大获利.

强连通缩为两个点的具体做法: 把一个强连通缩为a,b 两个点, 连(a,b)边, a的费用为强连通中最便宜的, b的费用为强连通中最贵的. 把指向强连通中任何一个点的所有边改为指向a, 把强连通中任何一点指向强连通外部的边改为由b指出. 这样构出来的保证与原图等价.

第四题(靶形数独, sudoku): 很直白的搜索, 由于数独是NP-H问题, 所以我们肯定只能用搜索, 那么关键就在于剪枝了, 我们发现, 对于每个格子都有一个取值范围, 这个范围由其横行/纵行/小九宫格中已填的数决定, 那么无疑我们每次搜索选取值范围最小的格子搜是比较优的.

Share and Enjoy: Google Bookmarks del.icio.us Facebook FriendFeed Twitter 豆瓣

Related Posts

]]> http://www.cnphil.com/archives/177/feed 8 Nim 取石子游戏的一些变种 http://www.cnphil.com/archives/169 http://www.cnphil.com/archives/169#comments Thu, 19 Nov 2009 16:55:50 +0000 Phil http://www.cnphil.com/?p=169 大家都知道正常的Nim游戏是取完最后一个赢. 必胜态是各堆石子异或值不为0. 现在来看看几个有意思的变种.

变种1: 取到最后一个石子的人输.
首先明确奇数个1是必败态, 偶数个1是必胜态. 这与正常的Nim不一致.
若只有一堆的个数大于1, 那么现在可以控制全场的1个数的奇偶性, 所以是必胜的. 这与正常的Nim一致.
若不止一堆的个数大于1, 由于不能转移到全是1的状态, (可能可以转移到仅有一堆大于1的状态, 但此状态与正常Nim一致), 所有当前可以转移到的状态的胜负性都是与正常的Nim一致的, 所以当前状态的胜负性与正常的Nim也是一致的.
综上, 除了全是1的状态胜负性跟正常的Nim不一致, 其余的状态胜负性与正常的Nim一致.

变种2: 只能从最左或最右的一堆中取, 取到最后一个的赢.
对于 [L,X,R] 状态, 若其是必败状态, 那么|L-R|<=1.
证明: 设[L,X,R]是必败态且R<L-1, 那么, 对于任何的1<=L’<L, [L',X,R]是必胜态. 那么对于每个L’, 都存在R’<R使得[L',X,R']是必败态, 显然不会出现[a,X,b]和[a',X,b]同为必败态的情况, 但L’有L-1个取值, R’却没有L-1个取值, 所以对于任意必败态[L,X,R], 都有|L-R|1则是必胜态, 否则, 由[X]的胜负性以及L-R的值可以推导出[L,X,R]的胜负性.

Share and Enjoy: Google Bookmarks del.icio.us Facebook FriendFeed Twitter 豆瓣

Related Posts

  • No Related Posts
]]> http://www.cnphil.com/archives/169/feed 0 简单却难证明的数列猜想 http://www.cnphil.com/archives/156 http://www.cnphil.com/archives/156#comments Fri, 11 Sep 2009 07:03:13 +0000 Phil http://www.cnphil.com/?p=156 我们又要开始讨论有关素数的问题了. 各位大牛在考试中肯定有很多时间剩余,  在考场里闲着无聊怎么办呢? 在草稿纸上写写画画? 于是你就开始写素数数列:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, …

写了几项后决心利用考试剩余的时间解决几个世纪以来的各种素数生成问题. 素数数列有什么规律呢? 从等差数列开始算吧. 看一看素数数列的各项与其后一项之间的差:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, …

你相信素数数列不会是这么简单, 觉得它有可能是n-阶等差数列, 于是你无聊地再把差数列又减了一次:

1, 0, 2, -2, 2, 2, 2, 2, 4, …

啊? 竟然出现了最讨厌的负数?! 恼怒的你决定把所有的负数全都取绝对值, 再把数列减一次:

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …

就当你准备再减一次的时候, 你发现了一件怪事: 为什么每个数列的第一项都是1? 惊奇不已的你准备放弃解决几个世纪以来的素数难题, 转而研究这个问题. 在考试结束之时, 你已经列了几百个数列了, 它们都是以1打头的, 于是你猜想每一个这样的数列都是以1打头的.

在回家的路上沉吟思索而撞了几根电线杆子的你回到家中, 以迅雷不及掩耳之势打开电脑, 开始用程序验证, 结果发现前几万个数列都是以1打头的. 惊喜的你开始思考怎么证明这个问题: 要证明这个问题就要弄清楚素数之间的关系, 也要弄清楚素数的生成问题, 于是又回到了几个世纪以来的难题上…

极度愤怒的你再次打开电脑查找资料, 发现有一个叫Gilbreath的无聊geek在1958年就提出了这个无聊问题, 这个无聊问题就叫做Gilbreath猜想, 于1878年被François Proth第一次发现并给出了一个错误的证明. 一个多个世纪以来, 这个无聊的猜想祸害了一代又一代的无聊数学家. Paul Erdős干脆说这个无聊猜想要等到两百年后才有完全的证明… Erdős老师大概是不想让太多的数学家在这个无聊猜想上浪费光阴吧.

来源:
http://www.johndcook.com/blog/2009/09/09/gilbreath-conjecture/
Share and Enjoy: Google Bookmarks del.icio.us Facebook FriendFeed Twitter 豆瓣

Related Posts

  • No Related Posts
]]> http://www.cnphil.com/archives/156/feed 0 公开密钥的加密法: RSA加密算法 http://www.cnphil.com/archives/138 http://www.cnphil.com/archives/138#comments Thu, 23 Jul 2009 09:17:00 +0000 Phil http://www.cnphil.com/?p=138

假如Alice和Bob需要经过一个不可靠媒介传送一条消息, 他们大概会把这条消息加密, 而普遍使用的字母移位法(凯撒加密法)太容易被破解, 所以他们可能会考虑使用更加安全的加密法.


在上个世纪70年代被麻省理工学院的三位教授发明的RSA加密算法就是一个足够安全的加密法, 当今互联网的SSL安全连接协议的重要加密算法就包括了RSA加密算法. 连接到你的网上银行, 查看这个安全连接的证书, 证书上很可能写的就是“RSA加密”.

当然, RSA被广泛使用的原因还有一个, 那就是它的加密钥匙是公开的, 也就是说, 任何人都可以使用公开的密钥给消息加密, 却无法给刚加密的消息解密.

现在, 若Alice需要接收一条来自Bob的消息, 她可以这样来生成密钥:

  1. 随机选取两个不相等的较大素数p和q, 计算N=pq.

  2. 根据欧拉函数, 计算不大于N且与N互质的正整数个数 φ(N) = (p-1)(q-1).

  3. 选取小于φ(N)且与φ(N)互质的正整数e.

  4. 选取小于φ(N)的正整数d, 使得e和d满足 (d×e) Mod φ(N)=1.

  5. 将公钥N和e公开, 保存好私钥d, 销毁p和q的记录.

关于私钥d的计算, 在实际应用中经常通过对e做模逆运算来得到d, 而高效解模逆运算的算法就是扩展Euclid算法.


此时, Bob已经知道了公钥N和e, 对于他要发送的消息n (n<N), 他可以计算出把n加密后的消息c=ne Mod N. Bob此时可以放心地把c发送给Alice了.


对于Alice收到的加密消息c, 她可以解密出原消息n=cd Mod N.


这样解密的原理是: 因为 c≡ne (Mod N), 所以 cd≡ned (Mod N), 又因为(ed) Mod φ(N)=1, 根据费马小定理, 会有 ned≡n (Mod N) , 从而 n=cd Mod N.


若中间偷听者Eve截获了密文c, 目前直接由公钥N, e,密文c导出原消息n的唯一方法就是将公钥N因式分解得到p和q, 计算得φ(N)后, 再由公钥e计算出私钥d, 而目前因式分解的较优算法仍然有O(n1/2)的复杂度, 所以Eve想要还原消息n是相当困难的.


上个世纪90年代, 数百台计算机用了五个月的时间合作因式分解了一个长达512位的RSA-155号公钥N, 所以, 现代SSL安全协议对公钥N的要求是起码1024位, 而且φ(N)不应有过小的质因数, 所以在生成p,q时, 通常是选取随机值再用Miller-Rabin测试来检验随机值是否为素数.


现在的RSA加密算法看起来无懈可击, 但是若多项式时间的因式分解算法被发现, 或者能在多项式时间内分解因式的量子计算机被发明, 那么RSA也会变得跟凯撒加密法一样脆弱, 到那时, 我们就需要发明新的加密传输方法了.

参考资料:

1. Classical and Contemporary Cryptology, Richard Spillman.

2. RSA entry from Wikipedia.

Share and Enjoy: Google Bookmarks del.icio.us Facebook FriendFeed Twitter 豆瓣

Related Posts

  • No Related Posts
]]> http://www.cnphil.com/archives/138/feed 8 是否存在第n个素数的公式呢? http://www.cnphil.com/archives/131 http://www.cnphil.com/archives/131#comments Mon, 20 Jul 2009 16:26:02 +0000 Phil http://www.cnphil.com/?p=131 我们经常跟素数打交道, 我们知道素数的各种验证算法, 但是是否存在素数的生成算法呢?

事实上, 我们有许多可以生成素数的算法, 但是, 由于这些算法的效率极低, 我们基本上不会使用这些算法.

方法一: 素数编码

设 pn 是第n个素数, Sierpinski 先生曾经定义了这样一个常量:

若定义[x]为一取下整函数, 即[x]表示不大于x的最大整数. 那么我们有:

对于这一类方法, 当把相关常量计算出来时才有实际价值, 这似乎不太可能.

方法二: 利用 Wilson 原理

Willans 先生这样定义了函数 pi(x) :

那么, 对于大于2的任意整数n, 我们有:

这个方法虽然比前一个更具体, 但是, 其中涉及到了很大的数, 要应用到实际运算中还有一定的困难.

关于素数还有很多精彩的算法, 比如验证素数的 Miller-Rabin 测试, 以及应用素数性质的 RSA 加密算法, 但有关生成素数的真正可行的算法, 还有待我们继续去探究.

参考文献: Prime FAQ, Chris K. Caldwell

Share and Enjoy: Google Bookmarks del.icio.us Facebook FriendFeed Twitter 豆瓣

Related Posts

  • No Related Posts
]]> http://www.cnphil.com/archives/131/feed 1